Pregunta:
¿cómo resolver con teorema de stokes?
2009-02-18 16:26:43 UTC
verificar el teorema de stokes para la función F(x,y,z)= (y²+z² , x²+z² , x²+y²) para la superficie S, y el borde C, donde:

(a)
{z = (√1-x²), -1≤ x ≤ 1, -2 ≤ y ≤ 2,
S: {y = 2, 0≤ z ≤ (√1-x²), -1≤ x ≤ 1,
{y = -2, 0≤ z ≤ (√1-x²), -1≤ x ≤ 1.

{z = 0
C:{x = ±1, -2 ≤ y ≤ 2,
{y = ±2, -1≤ x ≤ 1.

(b) S es la superficie de la parte superior del cubo con un vértice en (1,1,1), centro en el origen y lados paralelos a los ejes, y C la curva intersección de S con el plano xy.

(c) La superficie S es como el b), con un agujero en la cara de arriba de forma circular cuyas coordenadas cilíndricas satisfecen: z = 1, 0≤ r ≤cosθ, -π/2 ≤ θ ≤ π/2.
Dos respuestas:
♦ ŁυvεҠεƦᴀғƬ ♦
2009-02-18 18:04:20 UTC
TEOREMA DE STOKES

∫∫rotF.ds (integral sobre la superficie S) = ∫F.dl (integral sobre el contorno C)



rotF = (∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z)i + (∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x)j + (∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)k rotacional

donde

Fx = y²+z²

Fy = x²+z²

Fz = x²+y²



∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z = 2y - 2z

∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x = 2z - 2x

∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y = 2x - 2y



Lo demostraré para el caso (b).

[La verdad, (a) es muy confuso: no especificas claramente S y no sé qué coño significa el cuadradito . Lo siento, si no copiáis bien los enunciados, no habrá respuesta]



1) Cálculo de ∫∫rotF.ds (integral sobre la superficie S).

rotF.ds = (∂Fy/∂x - ∂Fx/∂y)dxdy = (2x - 2y)dxdy

∫∫ rotF.ds = ∫∫(2x - 2y)dxdy [z = 1] = ∫dy[∫(2x - 2y)dx] =

= ∫dy(x² - 2xy) [límites integración x = 0 ==> x = 1]

= ∫dy(1 - 2y) [límites integración y = 0 ==> y = 1]

= y - y² = 0



2) Cálculo de ∫F.dl (integral sobre el contorno C).

∫F.dl [z = 1] =

+ ∫(∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z)dx [x = 0 ==> x = 1]

+ ∫(∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x)dy [y = 0 ==> y = 1]

+ ∫(∂Fz/∂y - ∂Fy/∂z)dx [x = 1 ==> x = 0]

+ ∫(∂Fx/∂z - ∂Fz/∂x)dy [y = 1 ==> y = 0]

= 0

(pues las integrales 1ª y 3ª se anulan entre sí, y lo mismo sucede con la 2ª y la 4ª).
2009-02-19 01:07:23 UTC
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te felicito amigo se te nota q sabes demaciado yo no se ni dividir:SSSS ni restar xDDDD


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Este contenido se publicó originalmente en Y! Answers, un sitio web de preguntas y respuestas que se cerró en 2021.
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